数据结构(五)图---最小生成树(克鲁斯卡尔算法)

一:回顾普里姆算法
普里姆算法是以某个顶点为起点,逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树。是临时决定路径。
例如:我们参观某个展会,从一个入口进入,然后我们会选择最感兴趣的场馆进入观看,看完后再用同样的方法看下一个。
二:克鲁斯卡尔算法(稀疏图)
例如上面参观,我们为何不先决定去看那些展馆,事先计划好,然后进园后直接按照所决定的路径进行观看。这就是克鲁斯卡尔算法的思想
注意:
克鲁斯卡尔算法需要我们了解生成树的概念,我们可以回到普里姆算法回顾下
(一)基本思想
1)构造一个只含n个顶点,边集为空的子图。若将图中各个顶点看成一棵树的根节点,则它是一个含有n棵树的森林。
(2)从网的边集 E 中选取一条权值最小的边,若该条边的两个顶点分属不同的树,则将其加入子图。也就是说,将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树;反之,若该条边的两个顶点已落在同一棵树上,则不可取,而应该取下一条权值最小的边再试之
(3)依次类推,直至森林中只有一棵树,也即子图中含有 n-1条边为止。
或者
(1)将图中的所有边都去掉。
(2)将边按权值从小到大的顺序添加到图中,保证添加的过程中不会形成环
(3)重复上一步直到连接所有顶点,此时就生成了最小生成树。这是一种贪心策略。
(二)难点
判断某条边<u, v>的加入是否会在已经选定的边集集合中形成环。
(三)解决思路
使用并查集,分别找出两个顶点u, v所在树的根节点。若根节点相同,说明u, v在同一棵树中,则u, v连接起来会形成环;若根节点不同,则u, v不在一棵树中,连接起来不会形成环,而是将两棵树合并。
推文:(四)图解过程                  三:代码实现数据结构定义
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <stdbool.h>

#define MAXVEX 100    //最大顶点数
#define INFINITY 65535    //用0表示∞

typedef char VertexType;    //顶点类型,字符型A,B,C,D...
typedef int EdgeType;    //边上权值类型10,15,...

//邻接矩阵结构
typedef struct
{
    VertexType vers[MAXVEX];    //顶点表
    EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];    //邻接矩阵,可看作边表
    int numVertexes, numEdges;    //图中当前的顶点数和边数
}MGraph;


typedef struct
{
    int begin;
    int end;
    int weight;
}Edge;
函数定义
//创建邻接矩阵
void CreateMGraph(MGraph* G);
//邻接矩阵转边集数组
void MGraph2EdgeArr(MGraph G, Edge* edge);
//显示邻接矩阵
void showGraph(MGraph G);
//找到顶点index的根节点下标返回
int Find(int* parent, int index);
//使用克鲁斯卡尔算法进行最小生成树的创建
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G);
创建邻接矩阵
void CreateMGraph(MGraph* G)
{
    int i, j, k, w;
    G->numVertexes = 9;
    G->numEdges = 15;
    //读入顶点信息
    G->vers[0] = 'A';
    G->vers[1] = 'B';
    G->vers[2] = 'C';
    G->vers[3] = 'D';
    G->vers[4] = 'E';
    G->vers[5] = 'F';
    G->vers[6] = 'G';
    G->vers[7] = 'H';
    G->vers[8] = 'I';

    //getchar();    //可以获取回车符
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
        for (j = 0; j < G->numVertexes; j++)
            G->arc[i][j] = INFINITY;    //邻接矩阵初始化

    G->arc[0][1] = 10;
    G->arc[0][5] = 11;
    G->arc[1][2] = 18;
    G->arc[1][6] = 16;
    G->arc[1][8] = 12;
    G->arc[2][3] = 22;
    G->arc[2][8] = 8;
    G->arc[3][4] = 20;
    G->arc[3][7] = 16;
    G->arc[3][6] = 24;
    G->arc[3][8] = 21;
    G->arc[4][5] = 26;
    G->arc[4][7] = 7;
    G->arc[5][6] = 17;
    G->arc[6][7] = 19;

    for (k = 0; k < G->numVertexes; k++)    //读入numEdges条边,建立邻接矩阵
    {
        for (i = k; i < G->numVertexes; i++)
        {
            G->arc[i][k] = G->arc[k][i];    //因为是无向图,所有是对称矩阵
        }
    }
}
CreateMGraph创建邻接矩阵邻接矩阵转边集数组并查集操作,获取一个顶点f的根节点下标,这里没有使用结构体,而是将数组下标作为了数据,节省了不必要空间
int Find(int* parent, int f)
{
    while (parent[f] > 0)
        f = parent[f];
    return f;
}
使用克鲁斯卡尔算法进行最小生成树的创建
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
    Edge edges[MAXVEX];    //定义边集数组
    int parent[MAXVEX];    //定义生成树的父节点,也可以使用结构体,但是更加浪费空间
    int i,n,m;
    MGraph2EdgeArr(G, edges);    //邻接矩阵转边集数组

    //开始进行初始化
    for (i = 0; i < MAXVEX; i++)
        parent[i] = 0;    //这里是0代表根节点,我们也可以使用-1,正负无穷等
    //进行合并操作
    for (i = 0; i < G.numEdges;i++)
    {
        n = Find(parent, edges[i].begin);    //找到顶点edges[i].begin的根节点下标
        m = Find(parent, edges[i].end);        //找到顶点edges[i].end的根节点位置
        if (n!=m)    //若是根节点下标不是一样的,就说不在一棵树上,不会形成环,我们放心合并
        {
            parent[n] = m;    //将n树合并到m树,表示该边被放入生成树
            printf("(%d,%d) %d ", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
        }
    }
}
全部代码View Code四:总结
将图中各边按其权值由小到大的次序顺序选取,若选边后不形成回路,则保留作为一条边, 若形成回路则除去.依次选够(n-1)条边,即得最小生成树.(n为顶点数)
克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(eloge)跟边的数目有关,适合稀疏图。(若图的顶点数为n,边数为e)。
 

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